Подскажите, чем заменить сломанный задний переключатель.

Можно заменить на любой переключатель шимано для 10 передач и горного велосипеда. Не шоссе. Того же класса легче всего будет найти rd-m780. При самостоятельной установке проверить ровность держателя заднего переключателя (петуха). При таких повреждениях ЗП обычно требуется замена петуха.

Петух тоже сломан. Если честно, вначале подумал что это не съемная часть самого переключателя.
Петухи продаются отдельно от переключателя или все вместе?

К раме, к каждой раме свой петух. Может быть редкая рама, но на алиэкспрессе можно взять все. Ниже я имел ввиду поменять трансмиссию полностью, сейчас все катают с одной звездой спереди, но видно, что человек вы неопытный, меняйте петуха и переключатель либо в мастерскую.

Насчет петуха Валерий написал все правильно. Если сами хотите менять, и находитесь в Москве, просто гуглите "велосипедный петух", есть несколько контор которые занимаются в основном этим. Смысла заказывать с али нет, экономия будет копеечная, а по времени придется подождать. Или в мастерскую.

Полно вариантов, особенно авито, все избавляются от 10 ск трансмиссий, сейчас стандарт 1*12 и 1*11. Но я такой переклюк использую в системе 1*10 с кассетой с алиэкспресса 11-46.

Валерий, кмк, вы ответили совсем не на тот вопрос который задал ТС. Врядли вы сможете найти на авито в продаже именно t780. И возможно, даже на алиэкспрессе

10 ск переключателей шимано кроме показателей прочности, легкости, крутости?
У меня на веле жены обычный диор 10 ск (брал на авито за 1300 новым), также переключает как иксти.

Я знаю что они взаимозаменяемы, что и написал в ответе ТСу. А ТС сомневался во взаимозаменяемости и не смог найти именно такой как стоял у него редкий переключатель rd-T780. Перечитайте стартовый топик и поймете мой комментарий. Но это не точно.

Просто какой смысл искать дорогой переклюк, которого еще нигде нет. За эти деньги проще все снять и срам GX12 сразу поставить. Но это не точно.
Для меня сама суть бессмысленности поиска T780 даже не подлежит сомнению и объяснению, видимо плохо написал.

Поясните пожалуйста, "...все снять..." что имеется ввиду? Сам переключатель?

Валерий предлагает вам поменять всю систему переключения передач. Но если я не ошибся, у вас гибрид с большой звездой спереди 48 зубов. Предложение Валерия абсолютно бессмысленно, трансмиссия sram gx eagle актуальна на горном велосипеде который ездит в основном не по асфальту.

Насчет гибрида мысли не прочитал)

Советов было много, но я бы придерживался дальнейших действий.
Велосипед не новый, значит цепь и кассета изношена и пройдут они явно меньше чем переключатель.
Покупаем  Deore XT M8000 при настройке убираем 1 скорость и катаемся до полного уничтожения звезд на кассете, а потом покупаем звезду и манетку на 11 скоростей, и вуаля... незаметный апгрейт.

Велосипед не новый, но пробег не большой, наверное и тысячи нет.
Сам менять не рискну, к тому же петух сломан. Подберу в Москве веломастерскую и отправлю велосипед им для ремонта.  Если есть контакты проверенных и ответственных веломастерских, буду очень признателен.

Как так то??? из Магадана в Москву что бы поставить задний перекрюк?
Там делов то...
1) Снять цепь (если нет замка на цепочке то нужна выжимка и замок на 10 скоростную цепь)
2) снять старый петух
3) заказать всё на Алиэкспрес (петух тоже)
4) поставить петух, переключатель и цепь
Всё можно найти как делать в Ютубе.
Это же не переборка двигателя внутреннего сгорания с расточкой.

Ковров, Владимирская область.

тяжело оценить, но кажется та часть рамы, к которой крепится петух чуть гнутая.

А пострадал велик при перевозке из Магадана в Ковров почтой EMC,

Перо я думаю никто не возьмётся гнуть, только на свой страх и риск.
Если рама не дорогая, то в гараж к дяде Васи и газовым ключом гнете на глаз.
Ну а если рама стоит серьезных денег, то дело дрянь. Умельцев много но гарантии на без конфузную работу никто не даст. Сынишке на не дорогом велике сам гнул, постоянно было ощущение что вот вот лопнет, выправил боле менее, дальше не стал, мысль о покупке нового байка из за пера не давала покоя.

К мастеру 100%, сами масштаб проблем не оцените, если есть подозрения на раму.